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均值不等式公式四个(三次均值不等式定理)

时间:2023-03-30 23:31:08 作者:李楠

三元均值不等式的成立条件:均值不等式,又名 平均值不等式、 平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为H n≤G n≤A n≤Q n,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

函数 y = f(x) = x^(q/p) (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

值域 (0 , +∞) f(x) > 0

一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p )

二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )

p>q>0 图像性质 凸函数

0>p>q 图像性质 凹函数

p>0 , q<0 图像性质 凹函数

利用函数 y = f(x) = x^(q/p) (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。

回顾Jensen不等式:

Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

若函数f(x)是凹函数则有:

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

若函数f(x)是凸函数则有:

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn

均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式

均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。基本不等式的四种形式:

1、a2+b2≧2ab(a,b∈R)

2、ab≦(a2+b2)/2(a,b∈R)

3、a+b≧2√ab(a,b∈R﹢)

4、ab≦[(a+b)/2]2(a,b∈R﹢)

a^2+b^2≥2ab

√(ab)≤(a+b)/2≤(a^2+b^2)/2

a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根号abc

均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

扩展资料:

特例

⑴对实数a,b,有?

?(当且仅当a=b时取“=”号),?

?(当且仅当a=-b时取“=”号)

⑵对非负实数a,b,有?

?,即?

⑶对非负实数a,b,有?

⑷对非负实数a,b,a≥b,有?

⑸对非负实数a,b,有?

⑹对实数a,b,有?

⑺对实数a,b,c,有?

⑻对非负数a,b,有?

⑼对非负数a,b,c,有?

;在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式):

当n=2时,上式即:

;当且仅当?

?时,等号成立。

根据均值不等式的简化,有一个简单结论,即?

?。

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