均值不等式公式四个(三次均值不等式定理)

三元均值不等式的成立条件：均值不等式，又名 平均值不等式、 平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为H n≤G n≤A n≤Q n，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

函数 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

值域 (0 , +∞) f(x) ＞ 0

一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p )

二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )

p＞q＞0 图像性质 凸函数

0＞p＞q 图像性质 凹函数

p＞0 , q＜0 图像性质 凹函数

利用函数 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。

回顾Jensen不等式：

Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

若函数f(x)是凹函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

若函数f(x)是凸函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式

均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。基本不等式的四种形式：

1、a2+b2≧2ab(a，b∈R)

2、ab≦(a2+b2)/2(a，b∈R)

3、a+b≧2√ab(a，b∈R﹢)

4、ab≦[(a+b)/2]2(a，b∈R﹢)

a^2+b^2≥2ab

√(ab)≤(a+b)/2≤（a^2+b^2）/2

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根号abc

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

扩展资料：

特例

⑴对实数a,b，有?

?（当且仅当a=b时取“=”号），?

?（当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有?

?，即?

⑶对非负实数a,b，有?

⑷对非负实数a,b，a≥b,有?

⑸对非负实数a,b，有?

⑹对实数a,b，有?

⑺对实数a,b,c，有?

⑻对非负数a,b，有?

⑼对非负数a,b,c，有?

；在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

；当且仅当?

?时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即?

?。