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三元均值不等式的成立条件:均值不等式,又名 平均值不等式、 平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为H n≤G n≤A n≤Q n,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
函数 y = f(x) = x^(q/p) (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)
值域 (0 , +∞) f(x) > 0
一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p )
二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )
p>q>0 图像性质 凸函数
0>p>q 图像性质 凹函数
p>0 , q<0 图像性质 凹函数
利用函数 y = f(x) = x^(q/p) (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。
回顾Jensen不等式:
Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1
若函数f(x)是凹函数则有:
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
若函数f(x)是凸函数则有:
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式
均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn。
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。基本不等式的四种形式:
1、a2+b2≧2ab(a,b∈R)
2、ab≦(a2+b2)/2(a,b∈R)
3、a+b≧2√ab(a,b∈R﹢)
4、ab≦[(a+b)/2]2(a,b∈R﹢)
a^2+b^2≥2ab
√(ab)≤(a+b)/2≤(a^2+b^2)/2
a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3≥ab+bc+ac
a+b+c≥3×三次根号abc
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
扩展资料:
特例
⑴对实数a,b,有?
?(当且仅当a=b时取“=”号),?
?(当且仅当a=-b时取“=”号)
⑵对非负实数a,b,有?
?,即?
⑶对非负实数a,b,有?
⑷对非负实数a,b,a≥b,有?
⑸对非负实数a,b,有?
⑹对实数a,b,有?
⑺对实数a,b,c,有?
⑻对非负数a,b,有?
⑼对非负数a,b,c,有?
;在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式):
当n=2时,上式即:
;当且仅当?
?时,等号成立。
根据均值不等式的简化,有一个简单结论,即?
?。
李楠
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