圆内接三角形性质(为什么内接三角形必有一个直角)

应该是以直径为斜边的直角三角形，因为直径对应的圆周角为90度，所以是直角三角形

1.牛顿线：完全四边形三条对角线中点共线。

2.九点圆：在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle）

3.欧拉线:三角形的外心、重心、垂心、九点圆圆心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

4.帕斯卡定理：圆内内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线。

5.西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）

6.泰勒圆：三角形每条边上的高线的垂足在另两边上的射影，共有六点，必在同一圆周上，这个圆叫做三角形的泰勒圆(Taylor's circle)

7.曼海姆定理：一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。若它与外接圆内切，即为内心；外切即为旁心。

8.蒙日定理：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线且不为同心圆，则三条根轴互相平行。

9.婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

这些都是数学竞赛中非常经典的几何定理，大部分都不难证明，大家可以自己试一试。

三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆。

在直角三角形的内切圆中，有两个简便公式：

1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）。

2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。r=ab/ (a+b+c)。

公式:三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半周长一半=面积除以内切圆半径

三边边长是 a b c首先算出三角形半周长s=1/2(a+b+c) 那么面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 证明方法见参考资料大S是面积，小s是半周长过内接圆圆心，做三条边得垂线，这三条线长度相同，都是半径，r同时连接三个顶点和圆心，把三角形分成三个小三角形S=S1+S2+S3=1/2(ar)+1/2(br)+1/2(cr)=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2(a+b+c)r=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]sr=√s(s-a)(s-b)(s-c)]r=(s-a)(s-b)(s-c)/√s小s就是 1/2(a+b+c)这样半径就用 a b c表示出来了

圆内接三角形是三顶点在圆周上，而外接三角形是边上切点在圆周上。两个概念，内接和外接没有必然关系。内接三角形只是顶点在园周上，可以无数，外接三角形是切点，切点连圆心垂直于边，也可以无数。当然要是有特殊关系也可以，就在于你一定要指明条件。