向心加速度公式(向心加速度基本公式)

【知识点1】 匀速圆周运动及其描述

一、描述匀速圆周运动的快慢

1．线速度

(1)定义：线速度的大小等于质点通过的弧长s跟通过这段弧长所用时间t的比值。

(2)公式：v＝s/t

(3)意义：描述做圆周运动的物体的运动快慢。

(4)方向：物体在某一时刻或某一位置的线速度方向就是圆弧上该点的切线方向。

2．角速度

(1)定义：在圆周运动中，质点所在半径转过的角度θ和所用时间t的比值，就是物体转动的角速度。

(2)公式：ω＝θ/t

(3)意义：描述物体绕圆心转动的快慢。匀速圆周运动的角速度是不变的。

(4)单位：在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号为rad/s。

3．周期

(1)定义：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位是秒，符号是s。

(2)与频率的关系：T＝1/f.

4．转速

(1)定义：做匀速圆周运动的物体，单位时间内转过的圈数称为转速n.

(2)单位：转/秒(r/s)或转/分(r/min)。

二、描述圆周运动的物理量及其关系

1．角速度、周期、转速之间的关系ω＝2π/T＝2nπ

即角速度与周期成反比，与转速成正比。

(1)转速n的单位为r/s.

(2)ω、T、n三个量中任意一个确定，其余两个也就确定。

2．线速度与角速度的关系v＝rω

r一定时，v∝ω，如圆盘转动时，圆盘上某点的ω越大则v越大

ω一定时，v∝r，如时钟的分针转动时，分针上各质点的ω相同，但分针上离圆心越远的质点，r越大，v也越大

v一定时，ω∝1/r，如皮带传动装置中，两轮边缘上各点线速度大小相等，但大轮的r较大，ω较小

3.线速度与周期的关系v=2πr/T，即当半径r相同时，周期小的线速度大。

特别提醒：

(1)v、ω、r是瞬时对应关系，只有控制一个量不变，才能确定另外两个量是正比还是反比关系。

(2)描述匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻变化，即线速度是变化的，而角速度、周期、转速是不变的。

【知识点2】 三种传动方式

1.皮带传动（同一皮带不打滑）

(1)线速度：和皮带相连的两轮边缘线速度大小相等v1＝v2

(2)角速度：ω1：ω2=r2：r1

(3)转速：n1：n2=r2：r1

(3)周期：T1：T2=r1：r2

2．齿轮传动

A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：

vA＝vB，ωA：ωB=r2：r1，TA：TB=r1：r2

两点转动方向相反。

3．同轴传动

同轴传动装置中各点的角速度相同，转速相同，周期相同，距转轴上不同半径的各点线速度大小不同，即vA：vB=r1：r2.

特别提醒：在解答传动装置中各物理量间的关系时，首先确定相同的量是线速度还是角速度，从而确定其他各量间的关系。齿轮传动和链条传动跟皮带传动相似。

【知识点3】 向心力

1．向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的。可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。

2．向心力的大小

F=ma=mv2/r=mω2r=mvω=m(2π/T)2r=m(2πn)2r

3．对公式的理解

(1)向心力公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。

(2)向心力公式具有瞬时性，即式中各量对应同一时刻。

(3)当m、ω一定时，由F知F∝r；

当m、v一定时，由F＝mv2/r 知 F∝1/r。

特别提醒：

(1)在匀速圆周运动中，物体所受的合外力一定指向圆心，充当向心力。非匀速圆周运动的合外力不指向圆心，合外力的法向分力为向心力。

(2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心，向心力是做圆周运动的物体需要的一个指向圆心的力，而不是物体又受到一个新的力。

【知识点4】 向心加速度

1、向心加速度

(1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。这个加速度叫做向心加速度。

(2)公式：①an＝v2/r；②an＝ω2r。

(3)方向：沿半径方向指向圆心，时刻与线速度方向垂直。

2、向心加速度的方向及意义

（1）物理意义：

描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢。

（2）方向：

总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。

（3）圆周运动的性质：

不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动。

3、向心加速度的公式和应用

（1）公式

an＝v2/r＝ω2r＝4π2r/T2＝4π2n2r＝4π2f 2r＝ωv.

（2）an与r 的关系

图象如图所示：

（3）理解

①当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增加或周期的减小而增大。

②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。

③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。

【知识点5】 生活中的圆周运动

一、车辆转弯

1.自行车（或摩托车）转弯

我们在骑自行车转弯时，有向外滑出的趋势，地面对自行车有指向内侧的静摩擦力F1，这个静摩擦力提供自行车转弯时所需的向心力。

根据向心力公式有F=F1=mv2/r,从公式中可以看出，转弯时所需的向心力与转弯时的速率及半径有关，如果转弯时的速率过大，静摩擦力不能满足转弯需要。

2.汽车转弯

汽车在水平路面上转弯时的向心力也来源于地面的静摩擦力，根据向心力公式有F=F1=mv2/r,转弯时所需的向心力与转弯时的速率及半径有关，如果转弯时的速率过大，静摩擦力不能满足转弯需要。

3.汽车在倾斜路面上转弯

车受重力mg及路面的弹力FN作用，这两个力的合力F水平并指向圆周弯道的圆心，充当向心力，

由图可知：F＝mgtanθ，依据牛顿第二定律有 mgtanθ＝mv2/r。

总结：（1）路面水平时转弯所需的向心力由静摩擦力力提供，若转弯半径为r，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的k倍，汽车转弯的最大速度为

（2)高速公路的转弯处,公路的外沿设计得比内沿略高,若汽车以设计速度转弯时,汽车转弯的向心力由重力和弹力的合力提供.

4.火车转弯

（1）火车转弯时的特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，需要向心力。

（2）向心力的来源

①如果转弯处内外轨一样高，则由外轨道对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。

②如果转弯处外轨略高于内轨，此时铁轨对火车的支持力不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压。适当设计内外轨的高度差，火车以规定的速度行驶时，转弯时所需的向心力几乎完全由重力与支持力的合力来提供。

二、航天器中的失重现象

航天员在航天器中绕地球做匀速圆周运动时，航天员只受地球引力，引力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=mv2/R,所以处于失重状态。

航天器绕地球做匀速圆周运动，假设它的线速度的大小为v，轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg。

求：座舱对航天员的支持力为多少？

mg－FN＝mv2/r，得FN＝mg－mv2/r

当时V=

，座舱对航天员的支持力FN＝0 ，航天员处于完全失重。

正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的人和物体绕地球做圆周运动。

三、竖直面内的圆周运动

1.汽车过拱形桥

质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前进，设桥面的圆弧半径为r，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。

汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为F=G-FN

当汽车通过桥的最高点时，根据牛顿第二定律F=ma，有F=mv2/r

所以G-FN=mv2/r

由此解出桥对车的支持力FN=G-mv2/r

汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。

2.轻绳模型

轻绳只能提供拉力，在最高点时，物体所受重力和绳的拉力的合力提供向心力，G+F=mv2/r

恰好过最高点条件：F=0，此时G=mv2/r

3.轻杆模型

轻杆既能提供拉力，又能提供支持力，在最高点时，物体所受重力和杆的拉力或支持力的合力提供向心力，G+F=mv2/r。

V>

时，轻杆提供拉力；V<

时，轻杆提供支持力；V=

时，轻杆恰好无作用力。

【知识点6】 离心运动和向心运动

1．离心运动的本质：由于物体具有惯性，物体做圆周运动时总有沿切线方向飞出的趋势。

2．离心运动的受力特点：物体做离心运动并非受到离心力作用，而是外力不能提供足够的向心力。

3．合外力与向心力的大小关系对圆周运动的影响(如图所示)：

(1)若F合＝mrω2或F合＝mv2/r，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。

(2)若F合＞mrω2或F合＞mv2/r，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。

(3)若F合＜mrω2或F合＜mv2/r，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。

(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动。

特别提醒：

(1)离心运动不是物体沿半径方向飞出，而是物体沿切线或沿圆与切线之间的某一曲线运动。

(2)离心运动的本质是惯性，而不是物体受到了“离心力”的作用。

4.离心现象的应用、危害与防止

(1)应用：离心干燥器、离心分离器、脱水桶、投掷链球。

(2)危害与防止：车辆转弯时易出现交通事故，拐弯时应减小速度。